Главная » 2014»Сентябрь»30 » Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем. Логунов, Максим Юрьевич
23:20
Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем. Логунов, Максим Юрьевич
Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем
Диссертация
Автор: Логунов, Максим Юрьевич
Название: Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем
Справка: Логунов, Максим Юрьевич. Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.03 / Логунов Максим Юрьевич; [Место защиты: Сарат. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского] - Владимир, 2009 - Количество страниц: 107 с. ил. Владимир, 2009 107 c. :
Объем: 107 стр.
Информация: Владимир, 2009
Содержание:
1 Метод оценки локальной и глобальной скорости перемешивания хаотических систем
11 Перемешивание в хаотических системах
12 Алгоритм оценки степени перемешивания
13 Примеры
131 Отображения пекаря и ученика пекаря
132 Перемешивание в отображении Эно
133 Перемешивание в системе Чуа
134 Система Лоренца
135 Система Ресслера
14 Анализ устойчивости алгоритма к вариациям его параметров
15 Перемешивание и устойчивость динамики непрерывных хаотических систем
16
Выводы
2 Поиск областей плохо прогнозируемого движения нелинейных систем
21 Метод обнаружения областей сложного поведения
22 Примеры применения метода
221 Обнаружение областей неустойчивости
222 Обнаружение внутренних шумов
223 Обнаружение неавтономности динамики
23 Влияние шумов на устойчивость метода
231 Влияние неточности модели
232 Влияние аддитивных (измерительных) шумов
233 Влияние динамических (внутренних) шумов
24
Выводы
3 Исследование динамики гиперхаотической системы Рёсслера
31 Области перемешивания и неустойчивости в гиперхаотической системе Рёсслера
32 Параметризация области сложной динамики
33 Моделирование и прогнозирование гиперхаотической системы Рёсслера
34
Выводы
Введение:
Актуальность работы.Известно, что динамика нелинейных систем, наблюдаемых в природе, зачастую существенно изменчива и нестационарна (см. например [1-4]).Области устойчивого движения в фазовом пространстве таких систем могут сменяться областями неустойчивого, плохо предсказуемого, за-шумленного или даже случайного движения. Это обстоятельство приводит к затруднению построения адекватных математических моделей поведения наблюдаемых систем и уменьшает дальность прогноза их поведения [5-7], а также является одной из причин того, что получаемые результаты реконструкции^ хаотических систем — модельные уравнения, зачастую значительно не дотягивают по прогностической способности до их предельного времени предсказуемого поведения [15, 16]: здесь Л - наибольший ляпуновский показатель, а'^ - эффективное значение дисперсии суммарных шумов всех типов (измерительных, мультипликативных, «незнания» и пр. [15, 17]), а^ - дисперсия наблюдаемой величины.В более развернутом виде причины трудностей, возникающих при моделировании и прогнозировании хаотических систем можно разбить на два больших класса: 'Этим общепринятым термином (см. например [8-14]) называется процесс построения модели по наблюдаемым ВР. Ч • причины, обусловленные самим характером хаотических систем и описывающих их уравнений: - вариациями устойчивости систем к шумовым возмущениям (и их неустойчивостью в среднем), действием мультипликативных шумов, вариациями эффективных размерностей [18] и других динамических, геометрических и информационных характеристик в течение времени эволюции системы, неавтономностью исследуемой системы; • причины, обусловленные особенностями наблюдения исследуемых процессов: - недоступностью тех или иных мод многомерного процесса для наблюдателя [19, 20], краткостью периода наблюдений [21-24] и необходимостью их дискретизации [25], действием измерительных шумов^ [26, 27].Как видно из этого перечня, вариации тех или иных характеристик динамики наблюдаемых систем составляют достаточно большой круг и источник проблем. Задачу моделирования нелинейных и, в частности, хаотических систем, которая сложна сама по себе ввиду их неустойчивости к шумовым возмущениям, эта вариабельность характеристик динамики усложняет еще больше, поскольку модели должны быть либо достаточно сложными, чтобы описывать все разнообразие наблюдаемых динамических режимов [28], либо представлять собой группу более простых моделей, каждая из которых определена в локальной области фазового пространства и описывает только относительно простую и стационарную динамику на этой области [29]. При использовании моделей второго типа неизбежно возникает вопрос корректного разбиения фазового пространства хаотической системы на области определения локальных моделей, который требует способа обнаружения областей из-^Которые в квантовых системах могут также воздействовать и непосредственно на наблюдаемую систему. менчивой и сложно моделируемой динамики. Кроме того, информация о наличии таких областей может быть важна и сама по себе для более полного понимания наблюдаемой динамики.Именно этими трудностями моделирования и реконструкции хаотических систем и объясняется актуальность выбранной темы диссертационного исследования: реконструкция хаотических систем по наблюдаемым временным рядам и прогноз их поведения - активно развиваюш,аяся область исследований в нелинейной динамике. За последние годы достигнуты значительные успехи и разработано большое число методов реконструкции, направленных на увеличение дальности модельного прогноза (например, [12, 22, 28, 30-33]). Развитие этих методов достаточно быстро выявило ограниченность подходов т.н. "глобальной реконструкции" и в настоящее время другой подход - использование групп локальных моделей вместо одной глобальной модели, параллельно с развитием методов анализа хаотических ВР, набирает все большую популярность ([5, 29, 34-37]). Обоснование его успеха в применении заключается в достаточно сильной вариабельности различных характеристик динамики хаотических систем в фазовом пространстве, о чем было сказано выше. Глобальные модели могут быть слишком грубы, чтобы правильно описывать эти вариации, либо слишком сложны и избыточны в случае, когда они их описывают. В такой ситуации лучшее описание наблюдаемой динамики могут дать группы локальных моделей. В качестве примера успешного применения такого подхода приведем работы [5, 38, 39], общая идея которых состоит в том, что вместо построения одной глобальной модели, описывающей поведение наблюдаемой системы на всем фазовом пространстве, строится группа локальных моделей, каждая из которых построена на специфическом участке фазового пространства № оптимизирована для конкретного характера наблюдаемой динамики.Корректное разбиение фазового пространства на области определения локальных моделей основывается на методах обнаружения изменений каких либо характеристик динамики. К настоящему времени достаточно хорошо разработаны методы определения локального уровня аддитивных шумов [40], локальной устойчивости, определения локальной размерности в специальных случаях [41] и информационной сложности [3, 4, 42]. Однако практически не описаны, например, методы оценки локальной скорости перемешивания фазовых траекторий, методы выявления внутренних шумов, определения размерности колебаний в общем случае. Разработка этих и схожих методов может улучшить понимание хаотических систем и расширить применение концепции локальных моделей при реконструкции этих систем по наблюдаемым ВР. В качестве примера, демонстрирующего фундаментальные причины появления в фазовом пространстве хаотических систем областей с различной локальной устойчивостью и временем предсказуемости, рассмотрим систему т нелинейных автономных ОДУ X = fix) (1) где xeR^, f: R"' -^ ВТ".Предположим, что существует некоторое возмущение (погрешность) ео в задании начальных условий жо-Для анализа динамики возмущений, длящихся конечное время At необходимо воспользоваться уравнением ?(to + At) = P(cco,Ai)6o (2) где Р(жо, Ai) - матрица эволюции (tangent propagator) системы (1). Для потоков она определяется следующим образом^: P{xQ,At) = / J{x{t))dt где J - Якобиан оператора эволюции системы /(ж). ''Для дискретных отображений Р{хо,к) определяется как произведение Якобианов вдоль траектории: Р(а;о, к) = J{xk-i)J{xk-2) • • • J{xo).Максимальная экспоненциальная скорость роста определяется показателем Xi{xo,At) и достигается, когда начальное возмущение ео совмещено с направлением vi. Предел Лх = lim \i{xQ,At) называется стар-шим ляпуновским показателем и существует почти для всех ж и начальных возмущений Со- Остальные аналогичные пределы Л ,^ i — 2, . . . , m характеризуют скорость роста возмущений по оставшимся направлениям пространства i?™ и совместно с Ai формируют сиекотр ляпуновских показателей.Таким' образом, важный для этого диссертационного исследованиявывод из определения ЛЛП состоит в том, что скорость роста каждого фиксированного возмущения зависит от направления этого возмущения.На интервале времени At она будет максимальна тогда, когда направление вектора возмущения совпадает с направлением вектора V\ и минимальна, когда направление возмущения совпадает с направлением v^ .Более того, гиперболические точки в хаотических (гиперболических и часто квазигиперболических) системах обладают устойчивым и неустойчивым многообразиями, на которых случайные возмущения могут как экспоненциально убывать, так и экспоненциально возрастать (рис. 1) [46, 47].Итак, структура локальной окрестности фазовой точки и направление случайного возмущения определяют скорость роста заданных слу-•'Она является постоянной только для динамических систем с постоянным Якобианом. ^Отметим, что направление v\ является направлением скорейшего роста возмущений только для интервала Д( в целом. В течение эволюции системы внутри этого интервала при непостоянном Якобиане существуют направления максимальной мгновенной скорости роста, отличные от wi.Рис. 1: Структура локальной окрестности траектории гиперболической точки на аттракторе хаотической системы. Устойчивое (W^) и неустойчивое (ТУ") многообразия (по [47]). чайных возмущений в локальной окрестности, а конечно-временные ля-пуновские показатели (4) позволяют оценить среднее значение скорости роста возмущений на участках аттрактора некоторой конечной длительности.Дадим иллюстрацию этим положениям на примере широко известной квазигиперболической системы Лоренца. Для этого покажем, что на аттракторе Лоренца существует некоторое распределение времен удвоения возмущения Г2^ , величины, которая выражается непосредственно в единицах времени и может служить характеристикой свойств предсказуемости хаотических систем [38, 45, 48]. Для этого будем достаточное число раз интегрировать систему Лоренца (1.15) с двух близких начальных условий, первое из которых распределено с естественной инвариантной мерой на аттракторе, а второе представляет собой случайное отклонение на фиксированное расстояние е = 0.5 от первого в произвольном направлении и будем каждый раз фиксировать время удвоения возмущения гг.Достаточно ясно видно, что траектории, на которых возмущения возрастают быстро, сконцентрированы в области перехода между колебаниями вокруг двух неустойчивых стационарных точек, тогда как более регулярное движение вокруг стационарных точек приводит к большему времени удвоения возмущений. Таким образом, можно сделать вывод о Рис. 3: Фазовый портрет системы Лоренца. Точками показаны начальные условия для траекторий с малым временем удвоения возмущений (г2 1). том, что уже сам характер уравнений рассматриваемой динамической системы определяет существование областей с различной скоростью роста возмущений в фазовом пространстве, а значит и обладающих различной потенциальной предсказуемостью. В этой связи следует отметить работы [45, 49-51], в которых авторы показали, что ЛЛП и характерное время удвоения возмущений на аттракторе не постоянны и могут испытывать достаточно сильные вариации.Описанный выше эффект вариабельности скорости роста возмущений в зависимости от их направлений обычно сглаживается из-за того, что суммарное распределение векторов возмущений в ходе эволюции ДС относительно изображающей точки почти всегда является изотропиче-ским. Но если в течение времени эволюции системы подбирать направление векторов возмущений некоторым специальным образом (например вдоль быстрейшего или наиболее медленного направления роста возмущений), то среднее время удвоения возмущений Г2 будет значитель-но отличаться для каждого способа подбора направлений возмущений [44, 45]. На практике такое не изотропическое распределение возмущений может присутствовать в некоторых метеорологических процессах [45].Для того, чтобы успешно справиться с задачей моделирования сложных и неоднородных систем, в работах [5, 6, 39, 52, 53] были введены новые понятия «русел» и «джокеров». «Джокеры» являются регионами в фазовом пространстве, в которых динамика системы становится плохо предсказуемой, она просто изменяется, усложняется или даже становится вероятностной и случайной. В противоположность джокерам вводится понятие «русла» — области устойчивого, хорошо прогнозируемого движения. В [52] и [5] для описания таких процессов и систем, в фазовом пространстве которых можно выделить эти области, введен новый класс математических моделей — динамические системы с джокерами.Наиболее очевидная иллюстрация русел в фазовом пространстве области локального маломодового движения, в которых хороший прогноз обеспечивается простотой модельной функции, или области локальной устойчивости хаотической системы. Отметим некоторые возможные причины появления джокеров в фазовом пространстве [5, 6, 39, 53]: • джокеры могут быть областями локальной неустойчивости хаотической системы, в которых ЛЛП положительны; • джокеры могут быть областями сильной перемешиваемости; • джокеры могут быть областями, в которых проявляется действие локальных случайных возмущений; • джокеры могут быть областями высокомодового движения; • джокеры могут быть областями быстрого движения.Таким образом, возможно, наиболее благодатную почву для наличия русел и джокеров дают системы связанных осцилляторов с переменной связью и сингулярно возмущенные системы ОДУ. Переменность связи может сильно изменять локальную размерность и сложность динамических уравнений процессов, а сингулярное возмущение приводит к чередующейся медленно-быстрой динамике [39].Формальное определение понятия русла, возникающего, например, в областях маломодового движения хаотической системы, состоит в следующем [5]: рассмотрим п-мерное фазовое пространство хаотической системы F. Предположим, что в некоторой локальной области G поведение системы может быть приближенно описано маломодовой моделью Fi с размерностью фазового пространства ni < п. Если траектория системы в течение времени наблюдения достаточное число раз проходила через область G, можно восстановить ni-мерную функцию F\, определенную в этой области, дающую возможность делать в ней локальный прогноз. С точки зрения построения прогноза важным здесь является то, что поскольку динамика системы в области G более проста, чем во всем фазовом пространстве (в следствие маломодовости), прогноз поведения Til степени свободы системы с помощью реконструкции функции Fi будет более точен, чем тот же прогноз с помощью реконструкции функции F. Такая область G, допускающая «хороший» прогноз хотя бы некоторых мод хаотической системы, называется руслом (см. [5]).Существует два основных подхода к обнаружению областей нестационарной или сложной динамики. Первый подход характеризуется анализом некоторых по крайней мере частичных модельных представлений о наблюдаемой динамике и позволяет обнаруживать и локализовывать эти области не только во времени, но и в пространстве состояний [5, 39].В частности, в работе [5] описан метод, называемый «тест на линейное предсказание», который находит в фазовом пространстве области неустойчивого движения траекторий (джокеров). Суть его сводится к следующему: берется некоторая окрестность точки фазового пространства Xi, причем Хг не включается в окрестность, и по этой окрестности строится линейный прогноз на время At вперед. Далее по построенному прогнозу точка Хг экстраполируется на время At вперед и оценивается ошибка экстраполяции Сг. Меняя базовую точку Xf и анализируя вид зависимости б(^), в фазовом пространстве находят области плохо прогнозируемого движения — джокеров.Рассмотрим применение этого метода по отношению к системе Ресслера, находящейся в хаотическом режиме.Во-первых покажем, что на ее аттракторе могут суи;ествовать области локальной устойчивости (русла), в которых все ЛЛП меньше нуля либо относительно невелики и области неустойчивого движения (джокеры), в которых по крайней мере один из ЛЛП положителен и достаточно велик.На рис. 4 изображена z-компонента системы Ресслера (толстая линия) и локальные ляпуновские показатели'' этой системы (пунктирными линиями: верхний график — максимальный по аттрактору, средний график — нулевой по аттрактору, нижний — минимальный).Как следует из рисунка, в области z ':§> О все ЛЛП увеличиваются, указывая на неустойчивый характер движения системы в этой области (в которой, кроме того, наблюдается локальное увеличение размерности динамики системы). Таким образом, эту область следует представлять как джокер.Результаты применения теста на линейное предсказание для этой системы Ресслера показаны на рис. 5. Тест выявил область джокера, подтвердив сделанное выше предположение о ее наличии.Почти все методы анализа, работающие с информационными мерами, в качестве базовой процедуры, подготавливающей ВР, используют методы символьной динамики [59-66], которая является средством моделирования динамических систем пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов (эффективно представляемых как строки или слова), где каждый символ соответствует некоторому состоянию системы, и оператором сдвига, заданном на этом пространстве и определяющим динамику системы. у s в •s IS Рис. 5; Тест на линейное предсказание [5]. Точки соответствуют ошибке e(i) > 0.5 и выявляют область джокера.Наиболее популярными информационными мерами сложности являются Энтропия Шеннона [59, 65] Я„, которая дает средний объем информации, заключенной в слове длины п; производной от энтропии Шеннона является условная (или динамическая) энтропия [67]: hn = Hn+i — Нп которая дает средний объем информации, необходимой для предсказания (п + 1)-го символа по имеющимся п символам последовательности, то есть величина Гп = 1-К (5) определяет среднюю предсказуемость [п + 1)-го состояния по п предыдущим состояниям. В свою очередь предел hn при п —> оо определяет энтропию источника или предельную энтропию h [59], которая может быть интерпретирована как средний объем информации, необходимой для предсказания следующего символа, если все прошлое известно.Также достаточно часто используется Энтропия Колмогорова-Синая или метрическая энтропия [65, 66, 68]. Эта величина является супремумом предельной энтропии h по всем возможным разбиениям Р: HKS = sup h{P) = sup lim /г„(Р) Отсюда следует, что эта энтропия не зависит от конкретного способа разбиения Р, кроме того, показано ([59, 66]), что для многих нелинейных систем HKS совпадает с энтропией Лесина, определяемой как сумма положительных ЛП системы. Это означает, что энтропия HKS характеризует динамические свойства систем. Один из лучших алгоритмов вычисления этой энтропии для некоторых ВР приведен в работе [69], в которой также имеются ссылки на альтернативные алгоритмы.Кроме перечисленных, суш^ествуют и другие меры сложности ВР, например, б - энтропия [55, 66], энтропия Реньи [66], так называемые Т - информация и Т - энтропия [59], меры, основанные на диаграммах возврата [56] и другие, более редко используемые меры.Приведем пример выявления динамики предсказуемости наблюдаемых ВР с использованием информационных мер. В работе [42] авторы исследовали массив наблюдений за температурой воздуха в г. Потсдам (Германия) длиной в 102 года с 1893 по 1994 гг. В первую очередь на массиве наблюдений ввели разбиение (алфавит) из пяти символов: очень холодно, холодно, умеренно, тепло, жарко. Далее была вычислена условная энтропия hi и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней, графики которых показаны на рис. 6. Вычисления производились в двигающемся временном окне длиной 30 лет ( « 11000 измерений), при которой измерения могут считаться стационарными. Как следует из рис. 6, условная энтропия явно уменьшается со временем, что означает увеличение степени постоянства и неизменности температуры. Этот вывод подтверждается растущей кривой вероятности наблюдения пяти одинаковых состояний температуры подряд. Таким 0,435 0,405 1893 1903 1913 1923 1933 1943 1953 1963 YEAR Рис. 6: Условная энтропия h^ (пунктирная линия) и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней (сплошная линия). Источник: [42]. образом, в течение века измерений обнаружено некоторое растущее постоянство температуры, которое отражает более стабильную климатическую циркуляцию и ведет к потенциально более качественному прогнозу климатических факторов.Можно обнаружить и другие примеры, когда анализ локальных свойств хаотических процессов позволил углубить их понимание. В частности, в работе [36] авторы исследовали двумерную решетку связанных осцилляторов и показали, что локальная для каждого осциллятора размерность колебаний существенно варьируется от осциллятора к осциллятору и лучший прогноз колебаний строится для осцилляторов с маленькой локальной размерностью колебаний; в работах [70-72] показано, что анализ локальных свойств зашумленных нелинейных процессов может обнаружить предвестники их будущих бифуркаций.Фундаментальное свойство хаотических систем - перемешивание [7376], оказывает не меньшее влияние на их наблюдаемую динамику, чем рассмотренные выше свойства. Перемешивание хаотических траекторий является ключевой особенностью в ряде физических и химических теорий [77-80], а также технических приложений [81-83]. Однако, при столкновении с необходимостью теоретического описания процесса перемешивания в хаотических системах и его экспериментальной оценки, возникают трудности, связанные с невозможностью аналитического или даже численного вычисления оператора Фробениуса-Иеррона [84] для большинства хаотических систем. Для того, чтобы обойти эти трудности, исследователи заменяют оператор Фробениуса-Перрона его конечными марковскими аппроксимациями [85-87] или используют другие методы его оценки [88, 89]. Еще одна фундаментальная сложность использования оператора Фробениуса-Перрона состоит в том, что в негиперболических-хаотических системах не существует стационарной вероятностной меры, не зависящей от начального распределения [84].Косвенный и зачастую более удобный • путь оценки действия перемешивания на динамику рассматриваемой системы состоит в вычислении некоторых величин, которые считаются связанными со свойством перемешивания в системе. Одной из этих величин является энтропия Колмогорова-Синая, положительное значение которой для определенной динамической системы говорит о наличии в ней перемешивания.Такая связь между энтропией Колмогорова-Синая и перемешиванием объясняется тем, что от скорости перемешивания зависит скорость спадания корреляций в системе [90], которую, в свою очередь, можно также связать с ее положительными ляпуновскими показателями [91, 92], которые непосредственно входят в определение энтропии Колмогорова-Синая. Однако, как показано в работе [93], существуют и такие хаотические системы (как, например, двумерные бильярды), которые являются перемешивающими, но имеют нулевую энтропию Колмогорова-Синая.Еще одна возможность оценить скорость перемешивания в хаотической системе состоит непосредственно в оценке скорости экспоненци-ального спадания корреляций. Однако, строгая оценка скорости спадания {тсогг — Н^^, где Тсогг - время корреляции, а Нк - энтропия Колмогорова-Синая [94, 95]) получена лишь для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме-А, в остальных случаях может наблюдаться самая различная скорость спадания корреляций [90], что также сильно затрудняет оценку скорости перемешивания.Цель работы.Цель работы состояла в разработке методов анализа хаотических систем, позволяющих обнаружить в их фазовом пространстве такие участки, динамика системы на которых характеризуется более сложным поведением (например, неустойчивым, многомодовым, зашумленным, неавтономным) по сравнению с остальными областями фазового пространства.Достижение поставленной цели предусматривало решение следующих задач: • исследования свойства перемешивания траекторий на аттракторе хаотических систем и разработки алгоритма оценки скорости перемешивания; анализа устойчивости алгоритма к изменению его параметров и проверки алгоритма на примере тестовых хаотических систем; выявления качественной взаимосвязи понятий устойчивости траекторий и их перемешивания для этих хаотических систем; • разработки разностного (сравнительного) метода выявления областей сложного поведения в фазовом пространстве хаотических систем и анализа надежности этого метода в условиях действия шумовых возмущений различной природы; исследования преимуществ построения прогноза динамики хаотических систем с использованием предлагаемого метода.Научная новизна.Научная новизна работы состоит в следующем: • Предложена полуаналитическая оценка скорости перемешивания фазовых траекторий на аттракторе хаотической системы. Разработан алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттакто-ру скорости перемешивания фазовых траекторий. • Предложен метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых ВР областей со сложным поведением траекторий и проведено исследование этого метода на устойчивость к шумовым возмущениям; Практическая значимость.Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при исследовании и моделировании сложных нелинейных процессов различной природы.С помощью разработанных методов может быть осуществлен поиск участков траекторий в фазовом пространстве исследуемых систем, которые соответствуют сложному, зашумленному или непредсказуемому движению. Кроме того, для хаотических систем разработанный метод позволяет оценить перемешиваемость траекторий на аттракторе. Полученные результаты могут быть полезны как при реконструкции нелинейных систем - построении групп локальных моделей, суммарно описывающих наблюдаемую динамику, так и при анализе различных свойств таких систем.На защиту выносятся: • метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых ВР областей со сложным поведением траекторий нелинейных систем; • полуаналитическая оценка степени перемешивания и алгоритм вычисления локальной, а также средней скорости перемешивания на аттракторе хаотических систем; • результаты применения разработанных методов при анализе и моделировании наблюдаемых нелинейных процессов.Личный вклад автора.Личный вклад автора состоит в анализе литературных данных по теме диссертации, совместной с научным руководителем формулировке задач диссертационного исследования и выборе методов их решения, разработке подходов и написании программ компьютерного моделирования, интерпретации и обработке результатов численных экспериментов.Апробация работы и публикации.Основные результаты диссертации были доложены на: • IV международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); • IV международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (Владимир-Суздаль, 2001); • International conference «Progress in nonlinear science», N. Novgorod, 2001 (международной конференции «Прогресс в нелинейной науке», Н. Новгород, 2001); • II всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2004); • VI международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2004); • VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2006); • VIII международной школе «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2007); • XIV научной школе «Нелинейные волны - 2008» (Н. Новгород, 2008); Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-02-16625).По теме диссертационного исследования опубликованы и приняты к печати 12 работ (4 статьи в рецензируемых журналах ВАК, которые включены в общий список литературы под номерами [6,30,101,102], 8 статей в сборниках трудов научных конференций).Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации -108 страниц. В ней содержится 40 рисунков и библиография из 123 наименований на 14 страницах.Первая глава диссертации посвящена фундаментальному явлению перемешивания фазовых траекторий в хаотических системах и связи этого явления с неустойчивостью динамики хаотических систем. В ней вводится понятие степени перемешивания, описан метод вычисления этой величины, пригодный для исследования как дискретных, так и непрерывных динамических систем. Получены приближенные аналитические оценки динамики перемешивания, одинаково пригодные для этих типов описания динамических систем. Исследована обоснованность полученных оценок при вариациях параметров алгоритма. Работоспособность алгоритма проверяется в численных экспериментах над несколькими известными моделями хаотических систем - отображениями Эно и пекаря, системами Чуа, Лоренца и Ресслера. Результаты исследования перемешивания в этих моделях показывают достаточно хорошее сходство экспериментальных и приближенных аналитических оценок.Вторая глава диссертации посвящена разработке метода поиска областей фазового пространства нелинейных систем, движение фазовых траекторий на которых плохо прогнозируемо - неустойчиво, зашумлено, неавтономно, многомодово и т.д., по сравнению с движением на остальной области фазового пространства. В главе дается описание метода и примеры его применения для нескольких хаотических систем: генератора Дмитриева-Кислова, KRV-системы и логистического отображе-ния. Подробно рассмотрено влияние различных шумовых возмущений и априорной неопределенности при использовании этого метода. Показаны возможные преимущества прогнозирования нелинейных систем с помощью группы локальных моделей, области определения которых находятся по описанному методу.Третья глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию гиперхаотической системы Рёсслера, находящейся под воздействием динамического шума, методами, разработанными в первой и второй главах. В главе исследуются перемешивающие свойства системы и параметризуется область неустойчивой динамики и быстрого перемешивания. Описано построение группы моделей, учитывающих динамику системы в соответствующих областях фазового пространства. Показано, что эта группа моделей, будучи более простой, чем глобальная модель системы, построенная на всем фазовом пространстве, обладает не меньшими прогностическими возможностями.Основные результаты работы суммируются и обсуждаются в заключении.В приложении кратко описан разработанный автором пакет моделирования и исследования временных рядов, который использовался для численных расчетов при работе над диссертацией.